На вид простое уравнение!

[IncreMan]

Всем привет!

Уже кучу времени пытаюсь решить следующее уравнение, на вид оно простое, а вот прописного решения ещё ни разу не видел, кто знает, поможите, очень интересно!

Само уравнение (точнее система уравнений):

x^2 + y = 31

y^2 + x = 41


Само собой ответы я знаю, x=5, y=6.

А как решить?

[Madness]

IncreMan
x=41-y^2
подставляем:
y=31-(41-y^2)^2
и решаем. В школе такое еще было...

[IncreMan]

ага так вот решить бы, там выходит не совсем доброе уравнение

y=31-(41-y^2)^2

y=31-(1681-82y^2+y^4)

y=y^4-82y^2-1650

y^4-82y^2-y=1650

а дальше как?

[Madness]

IncreMan
http://n-t.org/tp/ns/oam.htm

http://www.brsu.brest.by/pages/centr_pmo/au1.html

[ЕЖ]

Это возвратное уравнение, решается делением обеих частей на y^2, группировкой и заменой y^2+1/y^2 и y+1/y на t^2-2 и t соответственно. Получается простое квадратное уравнение отнсительно t. Ну а дальше просто.

Подробнее: http://matematika.studentu.ru/referats/89170/

[SergoZD]

Y^4+0y^3-82y^2+y+1650=0
+
x^4+0x^3-62x^2+x+920=0

Где ж оно возвратное?

[ЕЖ]

SergoZD
У тебя же 0 при x^3 и y^3

По ссылке Madness всё хорошо расписано.

[SergoZD]

ЕЖ
Уф. Ладно, я пас. Стар я уже для этого

[ЕЖ]

SergoZD
Да я и сам, только так, на вскидку что-то вспомил, когда-то было... может и ошибаюсь

[IncreMan]

я вот сижу, подставляю, кручу верчу, а нифига не выходит

на ссылке http://www.brsu.brest.by/pages/centr_pmo/au1.html которую дал Madness, описано решение симметричного уравненния четвёртой степени, а в нагем случае это не семметричное уравнение, а головная боль: x^4-62x^2+x+920=0

[Trotil]

Так. Произвольное уравнение 4-ой степени не решается в общем виде, зря вы голову свою ломаете. Такие уравнения "лечается" теоремой Безу, и, соответственно перебором всех целых делителей свободного члена. В данном случае только так: этим способом можно найти один целый корень. Остальные три - можно попробовать через Формулу Кардано для кубического уравнения: http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php

[CaptainFlint]

Trotil:
Произвольное уравнение 4-ой степени не решается в общем виде, зря вы голову свою ломаете.

Решается, решается... Это более высокой степени не решается в общем виде, а для степеней до 4 включительно есть способ решения. Только для 4-й степени он настолько дикий, что никто в здравом уме и твёрдой памяти применять его не будет.

Школьные методы я уже, разумеется, основательно забыл (лет 7 подобных вещей не решал), единственное, что тут кажется более-менее разумным - это, действительно, подобрать корни из числа делителей (собственно, такой уже есть - 5, как сказано в первом посте), ну а потом кубическое уравнение. С кряхтеньем, но решается.
Хотя и не нравится мне жутко этот путь. Должен быть проще. Намного проще...

[bomberman]

Есть еще один способ - использовать метод графиков: построить оба и найти точки пересечения

[Trotil]

Сообщение от CaptainFlint

Должен быть проще. Намного проще...

Не думаю. Maple дает один целый корень, остальные три иррациональные. Так что интересующее нас разложение, где в явном виде будет содержаться (x-5), сделать простыми преобразованиями вряд ли удатся. Остается подбор.
PS: Можно получить уравнение (x-y)(x+y-1)=-10 и для него составить восемь простых систем: от {x-y=-1 x+y-1=10} и до {x-y=5 x+y-1=-2}. Решив все системы и подставив в исходное, найдем только целочисленное значения. Иррациональные можно найти через способ выше.

[CaptainFlint]

Trotil:
Maple дает один целый корень, остальные три иррациональные. Так что интересующее нас разложение, где в явном виде будет содержаться (x-5), сделать простыми преобразованиями вряд ли удатся.

А кто сказал, что (x-5) должен быть в явном виде? Так что совсем не факт.
Просто слишком уж красиво и просто система выглядит... Помнится, мы подобные системы, как семечки щёлкали: это подставить туда, оттуда вычесть то, перекувырнуть через голову, и - оп-ля - биквадратное, или возвратное, или ещё какое-нибудь очень хорошее... Корни, разумеется, иррациональны, и это никакой простоте не противоречит (корень из двух тоже иррационален). Вот только для всех этих кувырков через голову постоянная практика нужна, ибо забывается всё очень быстро.

Можно, конечно, и в самом деле попробовать формулой Кардано... Если кому интересно - вот разложение на множители:
x^4 - 62*x^2 + x + 920 = (x - 5) * (x^3 + 5*x^2 - 37*x - 184)

Кстати, IncreMan, а в условии точно не было сказано ничего дополнительного? Например, маленькая, незаметненькая фразочка "решить в целых числах" там нигде не запряталась?

[Trotil]

Сообщение от CaptainFlint

А кто сказал, что (x-5) должен быть в явном виде?

Ну уж точно не я.
Я сказал нечто другое: то, что вывести это слагаемое простыми методами в данном случае невозможно. Только перебор.

Сообщение от CaptainFlint

Решается, решается... Это более высокой степени не решается в общем виде, а для степеней до 4 включительно есть способ решения.

Если можно, дайте ссылочку. Только для общего случая. А то для частных (биквадратное, симметричное, и д.р) способ решения я знаю.

[CaptainFlint]

Trotil:
Я сказал нечто другое: то, что вывести это слагаемое простыми методами в данном случае невозможно. Только перебор.

Не уверен, но спорить не буду, поскольку ни то, ни другое доказать пока не могём.

Trotil:
Если можно, дайте ссылочку. Только для общего случая. А то для частных (биквадратное, симметричное, и д.р) способ решения я знаю.

Увы, ссылочки нету. Это я читал сначала, будучи в школе (смутно помнится, что это упоминалось в методичках ЗФТШ), а потом - уже в институте, в каком-то из учебников видел даже сам алгоритм, однако разбираться не стал - чересчур замороченно.

Сейчас погуглил - что-то нашёл по этому поводу:
_http://ilib.mirror0.mccme.ru/djvu/encikl/weber-1.htm (это оглавление нехилого djvu-файла)

[Trotil]

Сообщение от CaptainFlint

Не уверен, но спорить не буду, поскольку ни то, ни другое доказать пока не могём.

Если коротко, я исходил из того, что по формулам Кардано выходят иррациональные числа (под кубом!), следовательно простейшим разложением с целыми коэффициентами - есть кубическое уравнение. Из этого факта вытекает, что вычленить из исходного уравнения, например квадратный двучлен (x^2+px+g) с рациальными коэффиэнтами (или что-то еще простое) не удасться.

подскажите как решить задание .Один из корней квадратного уравнения x2+px-15=0 равен 5,Найти сумму корней уравнения,

[BorLase]

Сообщение от Натуся

подскажите как решить задание .Один из корней квадратного уравнения x2+px-15=0 равен 5,Найти сумму корней уравнения,

прикалываешься?

подставляя известный корень в уравнение, находим, что р = -2, т.е. уравнение имеет вид

x^2 - 2x - 15 = 0

надеюсь, дальше сама справишься?